三、 从先生所学
边界积分方程赞
解名基本体名空① 流势对称造化功②
究竟穷极源奇异③ 说强论弱理圆融④
微分积替有天运⑤ 体域边为无斧工⑥
热力电声皆可解⑦ 能将有限事无穷⑧
注:
① 基本解是物理定律(万有引力、库伦力等)在位势理论中的表达式。有了基本解,边界变量完全决定了物体内部状态。对线性问题,求解方程不需要考虑内部。
② 边界积分方程中势和流是对称对等的。施加本质边界条件和自然边界条件一样自然,不需要应用罚函数法或拉格朗日乘子法。在接触问题中施加平衡条件时,面力也是现成的。
③ 由弱形式推导边界积分方程时用了两次散度定理,作用于试函数的二阶微分算子完全转换到检验函数上,达到究竟圆满。同时基本解的奇异性使得系统代数方程系数矩阵绝对占优,保证了数值计算的稳定性。
④ 由于基本解的散度是△函数,边界积分方程是强形式,但对试函数的连续性要求比弱形式还要低。
⑤ 散度定理是物质和能量守恒的数学形式,边界积分方程与原微分方程完全等价,弱形式方程则是一种近似。
⑥ 体积分转化为边界积分的过程中除了使用散度定理,没有引入任何人工假设。
⑦ 对线性问题,不需要域内积分。对非线性问题,加上域积分即可。积分比微分计算更稳定,精度更高,且不需要网格连续。
⑧ 对电磁波,声场,地震等涉及无限域的问题,边界积分方程自动满足无穷远处的边界条件,无需考虑外域无限空间,只需物体表面网格。
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